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Cours de M. CHEVAL

Lycée Guy Mollet,  Arras (62)

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Documents de cours

Seconde - Maths :
Seconde - SNT :
Programmer en Python
Les maths en Python
Concours Algoréa
Projet Jeu d'echec
Création d'un site web
Première Spécialité :
Terminale Technologique :

QCMs - Pronote

Seconde - Maths :
3  -   Géométrie avec coordonnées
4  -   Généralités sur les fonctions
Première Spécialité :
2  -   Suites numériques
3  -   Dérivation et polynômes
4  -   Probabilités conditionnelles
Terminale Technologique :
2  -   Suites numériques
3  -   Fonctions dérivées

Première - Spécialité Mathématiques

Chapitre 1 : Les trinômes du second degré

Le programme officiel :
Contenus :
Capacités attendues :
Approfondissements possibles :
Démonstrations :
Le contenu du cours :
Quelques pré - requis sur les fonctions :
Le 1er degré :Expression, courbe et tableau de signes.
Le 2nd degré :Forme développée et allure de la courbe.
Forme factorisée : Courbe et tableau de signes.
À la découverte de la forme factorisée : (à venir)
Le « Ce Qu'il Faut Retenir » de la forme factorisée :
Son expression :
Sa représentation graphique :
Son tableau de signes :
Savoir - faire :Obtenir le signe d'une forme factorisée.
Trinômes avec deux racines :
Correction :
Trinômes avec une ou aucune racine :
Correction :
Erreur classique sur la valeur de a :
Réponse classique :
Correction :
Le « Ce Qu'il Faut Retenir » de la factorisation :
Par quoi factoriser un polynôme P si le réel x1 en est une racine ?
Savoir - faire :Factoriser à l’aide d’une racine évidente.
Déterminons, par le calcul, une racine évidente de f.
Factorisons à l’aide du « CQFR ».
Développons et identifions les coefficients.
Quelle est alors la deuxième racine de f ?
Forme canonique : Variations, extremum et symétrie.
À la découverte de la forme canonique : (à venir)
Le « Ce Qu'il Faut Retenir » de la forme canonique :
Sa représentation graphique :
Son expression :
Son tableau de variations et son extremum :
Les formules donnant α et β :
Son axe de symétrie :
Savoir - faire :Obtenir la forme canonique (par le graphique).
Étape 1 :Lire les coordonnées du sommet.
Étape 2 :Tester l'expression avec un autre point.
Savoir - faire :Obtenir la forme canonique (par le calcul).
À partir d'une forme développée.
Correction :
En utilisant l'axe de symétrie de la parabole.
Correction :
Le « Ce Qu'il Faut Retenir » des techniques de preuve :
Erreur classique sur les inégalités :
Démontrer un maximum ou un minimum :
Les inégalités avec une fonction (dé -) croissante :
Les inégalités avec la fonction carrée :
La vitesse moyenne avec une fonction (dé -) croissante :
Formule donnant la vitesse moyenne sur un trajet [ x ; y ] :
Identification :Polynômes égaux donc coefficients égaux.
Démontrer un axe de symétrie vertical :
Démontrer que β est un extremum.
Correction :
Démontrer les variations d’une parabole (par les inégalités) :
Correction :
Si on multiplie par a positif, l’inégalité ne change pas de sens :
Si on multiplie par a négatif, l’inégalité change de sens :
Démontrer les variations d’une parabole (par la vitesse moyenne) :
Correction :
Cette vitesse moyenne est - elle positive ou négative ?
Démontrer la formule donnant α en fonction de a et b.
Correction :
Quand deux polynômes sont égaux, leurs coefficients sont égaux :
Démontrer que x = α est un axe de symétrie.
Correction :
Exercice de synthèse sur les formes factorisée et canonique :
Question 1 :
Indication :
Correction :
Question 2 :
Indication :
Correction :
Vidéos :Déterminer les variations et l'extremum d'une fonction du 2nd degré.
Correction vidéo de cet exemple :
Correction vidéo de cet exemple :
Comment passer d'une forme à une autre ?
Le « Ce Qu'il Faut Retenir »  de  « développée »  à  « canonique »  :
Quel est l’objectif de la transformation ?
Étape 1 de la transformation :
Étape 2 de la transformation :
Technique de calcul :Le  + 1 − 1  et le  × 2 ÷ 2
Savoir - faire :De la forme développée à la forme canonique.
Correction avec la version 1 :
Étape 1 :On factorise par a.
Étape 2 :On applique la formule de la complétion de carré.
Correction avec la version 2 :
Étape 1 :On factorise par a.
Étape 2 :On applique la formule de la complétion de carré.
Vidéos :Déterminer la forme canonique d'une fonction du second degré.
Correction vidéo de cet exemple :
Correction vidéo de cet exemple :
Correction vidéo de cet exemple :
Démontrons la forme canonique dans le cas général :
Étape 1 :On factorise par a.
Étape 2 :On applique la formule de la complétion du carré.
Savoir - faire :Factoriser pour résoudre une (in-) équation.
Si cela est posible, on factorise par un facteur commun :
Si cela est posible, on factorise par une identité remarquable :
Méthodes pour résoudre les (in-) équations du 2nd degré.
Le concept permettant de résoudre les (in-) équations de degré ≥ 2 :
Si maintenant, je factorise l'expression, alors :
Correction :
Conclusion :
Le  « Ce Qu'il Faut Retenir »  des méthodes sans le discriminant Δ :
Le concept pour résoudre les (in -) équations de degré ≥ 2 :
Méthode 1 :
Méthode 2 :
Méthode 3 :
Méthode 4 :L'artillerie lourde.
Savoir - faire :Résoudre une (in-) équation du 2nd degré sans le Δ.
Méthode 1 :Factoriser à l'aide d'une racine évidente.
Correction :
Méthode 2 :Factoriser par un facteur commun et/ou par une I.R.
Correction :
Méthode 3 :Somme et produit des racines (quand a = 1).
Correction :
Démontrons la formule du discriminant Δ :
Pour cela, essayons d’appliquer une identité remarquable :
Définition du discriminant Δ :
Trois situations à étudier :
Situation n°1 :Δ = 0
Situation n°2 :Δ < 0
Situation n°3 :Δ > 0
Le  « Ce Qu'il Faut Retenir »  de la méthode du discriminant Δ :
Situation initiale :
Formule du discriminant ∆ :
Forme factorisée, racines, tableau de signes :
Savoir - faire :Simplifier l’expression des éventuelles racines.
Deux exemples où l’une des lettres b ou c manque :
Calculons le discriminant Δ :
Calculons les éventuelles solutions :
Technique 1 :Simplifier la racine carrée de Δ.
Technique 2 :Simplifier les fractions pour rendre sexy nos racines.
Correction :
Savoir - faire :Résoudre une (in-) équation du 2nd degré avec le Δ.
Correction :
On calcule le discriminant Δ :
On calcule les éventuelles racines :
On regarde le signe de a pour conlure :
Correction :
On calcule le discriminant Δ :
On calcule les éventuelles racines :
On regarde le signe de a pour conlure :
Vidéos :Résoudre une (in-) équation du 2nd degré. (à venir)
Situations qui se ramènent à une (in-) équation du 2nd degré.
(*) À la découverte des systèmes d’équations somme/produit :
Définition :
Essayons de faire disparaître l’inconnue y de la seconde équation :
Démontrer les formules donnant la somme et le produit des racines.
Le  « Ce Qu'il Faut Retenir »  sur la somme et le produit des racines :
(*) Les systèmes d’équations somme/produit :
Les formules donnant s et p en fonction de a, b et c :
La méthode de résolution des équations du 2nd degré quand : a = 1
(*) Savoir - faire :Résoudre les systèmes d’équations somme/produit.
Correction :
Savoir - faire :Méthode de résolution du 2nd degré quand :a = 1
Correction :
(*) Pour aller encore plus loin :
Indications :
Exercice sur une inéquation contenant des fractions :
On commence par évacuer les valeurs interdites :
Obtenir une seule fraction comparée à 0 :
Déterminer les éventuelles racines du numérateur :
Conclure à l’aide d’un tableau de signes :
Exercice sur une équation contenant un paramètre :
Résoudre l’équation pour :m = 2
Pour quelle valeur de m ≠ 2, l’équation admet-elle qu’une seule solution ?
Quelle est alors, dans chaque des cas, la valeur de cette unique solution ?
Situation n°1 :m = 1
Situation n°2 :m = - 2
Exercice sur une équation contenant une racine carrée :
On commence par évacuer les valeurs interdites :
On réalise un changement de variables :
On retrouve les solutions en x :
Exercice sur une inéquation bicarrée (avec x2 et x4) :
On réalise un changement de variables :
On trouve les solutions en u :
On en déduit les solutions en x :
Exercice sur la position relative entre deux courbes :
Qu’est-ce que la position relative de deux courbes ?
Correction de la question 1) :
Correction de la question 2) :
Calculons le discriminant ∆ ainsi que les deux racines :
Étudions le signe de a pour conclure :
Calculons les ordonnées des points d’intersection :
Le  « Ce Qu'il Faut Retenir »  de ces exercices :
(In-) équations contenant des fractions :
(In-) équations contenant des racines carrées :
(In-) équations bicarrées contenant du x2 et du x4 :
Position relative entre deux courbes :
(*) Savoir - faire :Résoudre une (in-) équation du 3nd degré.
Vérifions que 3 est solution.
Factorisons l’expression.
Résolvons l’équation du 2nd degré :
Vidéos :Résoudre une (in-) équation du 3nd degré. (à venir)
Exercices de synthèse.
Le  « Ce Qu'il Faut Retenir »  pour les exercices de synthèse :
Pour avoir des informations sur un maximum et/ou un minimum :
Pour résoudre une équation ou une inéquation :
Exercice de synthèse sur Recette, Coût et Bénéfice :
Question 1 sur l'expression du bénéfice :
Indications :
Correction :
Question 2 sur l'étude de cette expression :
Correction du point a :
Correction du point b :
Correction du point c :
Exercice de synthèse sur l'aire d'une figure géométrique :
Indications pour la question 2) :
Correction des questions 1) et 2) :
Correction de la question 3) :
Correction de la question 4) :
Autres exercices de synthèse : (à venir)
Les exercices :
Forme canonique :Courbe, extremum et axe de symétrie.
Mise sous forme canonique.
Résoudre une équation du second degré.
Les documents à télécharger et à imprimer :
Le « Ce Qu'il Faut Retenir » du chapitre :
La partie 1 :La forme factorisée.(2 pages)
La partie 2 :La forme canonique.(4 pages)
La partie 3 :Comment passer d'une forme à une autre ?(2 pages)
La partie 4 :Méthodes pour les (in-) équations du 2nd degré.(5 pages)
La partie 5 :Situations se ramenant à une (in-) équation du 2nd degré.(5 pages)
La partie 6 :Exercices de synthèse.(2 pages)
La feuille d'exercices n°1 :
La feuille d'exercices n°2 :
Sujet du Devoir Maison n°1 :