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Première - Spécialité Mathématiques

Chapitre 4 : Les probabilités conditionnelles

Les tableaux à doubles entrées.

Savoir compléter un tableau à doubles entrées.

ada dad

Probabilités dans une situation d'équiprobabilité.

ada dad

Ajoutons une condition sur les personnes interrogées.

ada dad

Les probabilités conditionnelles.

À la découverte de la forme canonique :

(à venir)

Le « Ce Qu'il Faut Retenir » de la forme canonique :

Sa représentation graphique :

Son expression :

Son tableau de variations et son extremum :

Les formules donnant α et β :

Son axe de symétrie :

Savoir - faire :Obtenir la forme canonique (par le graphique).

Étape 1 :Lire les coordonnées du sommet.

Étape 2 :Tester l'expression avec un autre point.

Savoir - faire :Obtenir la forme canonique (par le calcul).

À partir d'une forme développée.

Correction :

En utilisant l'axe de symétrie de la parabole.

Correction :

Le « Ce Qu'il Faut Retenir » des techniques de preuve :

Erreur classique sur les inégalités :

Démontrer un maximum ou un minimum :

Les inégalités avec une fonction (dé -) croissante :

Les inégalités avec la fonction carrée :

La vitesse moyenne avec une fonction (dé -) croissante :

Formule donnant la vitesse moyenne sur un trajet [ x ; y ] :

Identification :Polynômes égaux donc coefficients égaux.

Démontrer un axe de symétrie vertical :

Démontrer que β est un extremum.

Correction :

Démontrer les variations d’une parabole (par les inégalités) :

Correction :

Si on multiplie par a positif, l’inégalité ne change pas de sens :

Si on multiplie par a négatif, l’inégalité change de sens :

Démontrer les variations d’une parabole (par la vitesse moyenne) :

Correction :

Cette vitesse moyenne est - elle positive ou négative ?

Démontrer la formule donnant α en fonction de a et b.

Correction :

Quand deux polynômes sont égaux, leurs coefficients sont égaux :

Démontrer que x = α est un axe de symétrie.

Correction :

Exercice de synthèse sur les formes factorisée et canonique :

Question 1 :

Indication :

Correction :

Question 2 :

Indication :

Correction :

Vidéos :Déterminer les variations et l'extremum d'une fonction du 2^nd degré.

Correction vidéo de cet exemple :

Correction vidéo de cet exemple :

Les partitions et la formule des probabilités totales.

Le « Ce Qu'il Faut Retenir »  de  « développée »  à  « canonique »  :

Quel est l’objectif de la transformation ?

Étape 1 de la transformation :

Étape 2 de la transformation :

Technique de calcul :Le  + 1 − 1  et le  × 2 ÷ 2

Savoir - faire :De la forme développée à la forme canonique.

Correction avec la version 1 :

Étape 1 :On factorise par a.

Étape 2 :On applique la formule de la complétion de carré.

Correction avec la version 2 :

Étape 1 :On factorise par a.

Étape 2 :On applique la formule de la complétion de carré.

Vidéos :Déterminer la forme canonique d'une fonction du second degré.

Correction vidéo de cet exemple :

Correction vidéo de cet exemple :

Correction vidéo de cet exemple :

Démontrons la forme canonique dans le cas général :

Étape 1 :On factorise par a.

Étape 2 :On applique la formule de la complétion du carré.

Savoir - faire :Factoriser pour résoudre une (in-) équation.

Si cela est posible, on factorise par un facteur commun :

Si cela est posible, on factorise par une identité remarquable :

Les arbres pondérés.

Le concept permettant de résoudre les (in-) équations de degré ≥ 2 :

Si maintenant, je factorise l'expression, alors :

Correction :

Conclusion :

Le  « Ce Qu'il Faut Retenir »  des méthodes sans le discriminant Δ :

Le concept pour résoudre les (in -) équations de degré ≥ 2 :

Méthode 1 :

Méthode 2 :

Méthode 3 :

Méthode 4 :L'artillerie lourde.

Savoir - faire :Résoudre une (in-) équation du 2^nd degré sans le Δ.

Méthode 1 :Factoriser à l'aide d'une racine évidente.

Correction :

Méthode 2 :Factoriser par un facteur commun et/ou par une I.R.

Correction :

Méthode 3 :Somme et produit des racines (quand a = 1).

Correction :

Démontrons la formule du discriminant Δ :

Pour cela, essayons d’appliquer une identité remarquable :

Définition du discriminant Δ :

Trois situations à étudier :

Situation n°1 :Δ = 0

Situation n°2 :Δ < 0

Situation n°3 :Δ > 0

Le  « Ce Qu'il Faut Retenir »  de la méthode du discriminant Δ :

Situation initiale :

Formule du discriminant ∆ :

Forme factorisée, racines, tableau de signes :

Savoir - faire :Simplifier l’expression des éventuelles racines.

Deux exemples où l’une des lettres b ou c manque :

Calculons le discriminant Δ :

Calculons les éventuelles solutions :

Technique 1 :Simplifier la racine carrée de Δ.

Technique 2 :Simplifier les fractions pour rendre sexy nos racines.

Correction :

Savoir - faire :Résoudre une (in-) équation du 2^nd degré avec le Δ.

Correction :

On calcule le discriminant Δ :

On calcule les éventuelles racines :

On regarde le signe de a pour conlure :

Correction :

On calcule le discriminant Δ :

On calcule les éventuelles racines :

On regarde le signe de a pour conlure :

Vidéos :Résoudre une (in-) équation du 2^nd degré.

(à venir)

La sucession de plusieurs épreuves indépendantes.

(*) À la découverte des systèmes d’équations somme/produit :

Définition :

Essayons de faire disparaître l’inconnue y de la seconde équation :

Démontrer les formules donnant la somme et le produit des racines.

Le  « Ce Qu'il Faut Retenir »  sur la somme et le produit des racines :

(*) Les systèmes d’équations somme/produit :

Les formules donnant s et p en fonction de a, b et c :

La méthode de résolution des équations du 2nd degré quand : a = 1

(*) Savoir - faire :Résoudre les systèmes d’équations somme/produit.

Correction :

Savoir - faire :Méthode de résolution du 2nd degré quand :a = 1

Correction :

(*) Pour aller encore plus loin :

Indications :

Exercice sur une inéquation contenant des fractions :

On commence par évacuer les valeurs interdites :

Obtenir une seule fraction comparée à 0 :

Déterminer les éventuelles racines du numérateur :

Conclure à l’aide d’un tableau de signes :

Exercice sur une équation contenant un paramètre :

Résoudre l’équation pour :m = 2

Pour quelle valeur de m ≠ 2, l’équation admet-elle qu’une seule solution ?

Quelle est alors, dans chaque des cas, la valeur de cette unique solution ?

Situation n°1 :m = 1

Situation n°2 :m = - 2

Exercice sur une équation contenant une racine carrée :

On commence par évacuer les valeurs interdites :

On réalise un changement de variables :

On retrouve les solutions en x :

Exercice sur une inéquation bicarrée (avec x² et x⁴) :

On réalise un changement de variables :

On trouve les solutions en u :

On en déduit les solutions en x :

Exercice sur la position relative entre deux courbes :

Qu’est-ce que la position relative de deux courbes ?

Correction de la question 1) :

Correction de la question 2) :

Calculons le discriminant ∆ ainsi que les deux racines :

Étudions le signe de a pour conclure :

Calculons les ordonnées des points d’intersection :

Le  « Ce Qu'il Faut Retenir »  de ces exercices :

(In-) équations contenant des fractions :

(In-) équations contenant des racines carrées :

(In-) équations bicarrées contenant du x² et du x⁴ :

Position relative entre deux courbes :

(*) Savoir - faire :Résoudre une (in-) équation du 3^nd degré.

Vérifions que 3 est solution.

Factorisons l’expression.

Résolvons l’équation du 2nd degré :

Vidéos :Résoudre une (in-) équation du 3^nd degré.

(à venir)

Les démonstrations du cours.

Le  « Ce Qu'il Faut Retenir »  pour les exercices de synthèse :

Pour avoir des informations sur un maximum et/ou un minimum :

Pour résoudre une équation ou une inéquation :

Exercice de synthèse sur Recette, Coût et Bénéfice :

Question 1 sur l'expression du bénéfice :

Indications :

Correction :

Question 2 sur l'étude de cette expression :

Correction du point a :

Correction du point b :

Correction du point c :

Exercice de synthèse sur l'aire d'une figure géométrique :

Indications pour la question 2) :

Correction des questions 1) et 2) :

Correction de la question 3) :

Correction de la question 4) :

Autres exercices de synthèse :

(à venir)

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